Funções

Assunto bastante cobrado em provas de vestibular.

Plano Cartesiano

Esquema gráfico que divide o espaço em quatro espaços, denominados quadrantes, através de dois eixos:

• um vertical, o eixo das ordenadas ou eixo dos y
• um horizontal, o eixo das abscissas ou eixo dos x

Par Ordenado ? P(a,b)

Cada PAR ORDENADO determina, no plano cartesiano, um único PONTO; onde o primeiro elemento do par determina o valor de x e o segundo valor determina o valor de y.
No par ordenado: (a,b) ? (b,a), se a ? b

Produto Cartesiano
A × B = {(x,y) / x ? A e y ? B }
n(A x B) = n(A) . n(B), onde n(A) é o número de elementos de um conjunto A.

Atenção:

• A x B ? B x A (em geral, não vale a propriedade comutativa)
• A x A pode ser também indicado por A²
• Se A = Ø ou B = Ø, então A x B = Ø

Relação Binária

Considerando dois conjuntos A e B , não vazios, chamamos de relação binária de A em B (R : A ? B) qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B.
Exemplo: Seja A= {0,1,2,3} e B={2,3,4,5,6,7}

Domínio e Imagem

Relação inversa de R

( x , y ) ? R ? ( y , x ) ? R^-1
No exemplo anterior: R ={(3,0),(5,1),(7,2)}

Função

Definição matemática de função ou aplicação

Chamamos de função de um conjunto A (Domínio) em um conjunto B(Contradomínio), simbolizada por f : A ? B , à toda relação em que todos os elementos do conjunto A possuem um, e apenas um, elemento (Imagem) associado no conjunto B.

Exemplo:

Valor Numérico de uma Função

O valor numérico de uma função seria o valor que a função assume quando substituímos x por um determinado valor.

Gráfico de uma função

Para reconhecermos se um determinado gráfico é ou não de uma função devemos traçar retas verticais por toda a extensão de seu domínio.
Se todas as retas tocarem em apenas um ponto se trata de uma função, caso contrário, trata-se apenas de uma relação.

DICA:
Considere o gráfico de uma função f, representada abaixo:

Estudo do domínio de uma função (Condição de existência de uma função)

Em resumo:


* n for par ? g(x) = 0
* n for ímpar ? D(f) = 

* n for par ? g(x) > 0
* n for ímpar ? g(x) ? 0

Observação: Quando o conjunto universo não for citado, usaremos como tal o conjunto 

Tipos de Função

• • Uma função f : A ? B é injetora (injetiva), se e somente se: x₁ ? x₂ ? f(x₁) ? f(x₂), ?x₁, x₂ ? A

DICA: A cada y corresponde um só x

• • Uma função é dita sobrejetora (sobrejetiva) quando o seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio, ou seja Im( f ) = CD( f )

DICA: A todo y corresponde pelo menos um x

• • Função Bijetora (ou bijetiva ou uma bijeção): Uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo

DICA: A todo y corresponde um só x

Importantíssimo:

• Em toda função bijetora, o número de elementos do domínio é igual ao número de elementos do contradomínio, ou seja: n( D ) = n( CD )
• Em toda função injetora, o número de elementos do domínio é menor ou igual ao número de elementos do contradomínio, ou seja: n( D ) = n( CD )
• Em toda função sobrejetora, o número de elementos do domínio é maior ou é igual ao número de elementos do contradomínio, ou seja: n( D ) = n( CD )

Função Par

Uma função é dita par quando f(-x) = f(x) para todo valor de x que pertence ao seu domínio
Gráfico: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (eixo “y”)
Ou seja, o eixo x funciona como um espelho e a parte negativa do eixo x é um reflexo da parte positiva

Função Ímpar

Uma função é dita ímpar quando f(-x) = -f(x) para todo valor de x que pertence ao seu domínio
Gráfico: O gráfico de uma função par é simétrico em relação à origem
Nota: Se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade

Função Inversa

Uma função f: A ? B é invertível ou inversível se e somente se é bijetora
Para determinar a função inversa de uma função devemos trocar o y por x e x por y e, em seguida, isolar o y
DICA: Os gráficos de f(x)e f^-1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (y = x)

Composição de Funções (função composta)

Uma função composta é aquela que substitui o que duas(ou mais) funções fazem
Para encontrar uma função composta basta substituir o x da função “de “fora “pela função “de dentro”

Atenção:

LEMBRETE!!! Raízes ou zeros de uma função As raí´zes de uma função f(x) são os valores de ” x ” que tornam f(x) = 0
Ou seja, se um valor “a” é raiz de uma função f(x), podemos dizer que a é raiz de f(x)

Obsevação: Graficamente podemos dizer que as raízes são os pontos do gráfico que estão sobre o eixo das abscissas

Função Polinomial do 1° grau ou Função Afim

A função do 1º grau tem a forma y = ax + b ou f(x) = ax + b, com a ? 0

Exemplos:
y = 2x + 20

Caracterí´sticas

* A função de 1o grau é uma função bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo
* O domínio e a imagem é o conjunto dos números reais (IR)
* A função admite inversa
* O gráfico de uma função de 1° grau é sempre uma reta inclinada

* Observe que a função f (x) = ax + b, é CRESCENTE quando a > 0 e DECRESCENTE quando a < 0
* Coeficiente linear: define a ordenada do ponto onde o gráfico da função intercepta o eixo y
* Raiz ou Zero da Função: é o valor de x para o qual a função se anula. Define a interseção do gráfico da função com o eixo x

Tipos de Função do 1° grau

1. Linear: tem a forma f (x) = ax, com a ?? 0, ou seja, b = 0. Toda função linear passa pela origem, o ponto (0,0)
2. Identidade: é uma função linear especial que associa o x ao próprio x. É a função f (x)=x. A função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares

Cuidado!!!
Função Constante: é uma função que tem a forma f (x) = b, ou seja, a = 0.

Atenção:
A função constante NÃO é de 1° grau! O gráfico da função constante também é uma reta, porém, paralela ao eixo x.

Inequações de 1° grau

Resolver uma inequação de 1° grau é extremamente similar à resolver uma equação de 1° grau, porém devemos tomar o cuidado de que, ao multiplicarmos uma inequação por -1 devemos inverter o sinal da desigualdade

Sistema de Inequações de 1° grau

Um sistema de inequações é formado por duas ou mais inequações. O conjunto solução é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema

Inequações Simultâneas

São inequações expressas por duas desigualdades ou por meio de um sistema de inequações. Para resolver inequações desse tipo, devemos encontrar a solução de cada inequação e fazer a intersecção das soluções.

Inequação Produto

Devemos esboçar o sinal de cada um dos fatores multiplicantes e, ao final, fazer o produto dos sinais obtidos através de um quadro de sinais

Inequação Quociente

O procedimento é análogo ao da inequação produto, lembrando que devemos excluir os valores de x que anulam o denominador

Função do 2° grau (função quadrática)

A função do 2° grau tem a forma f(x) = y = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ?? 0

Gráfico
O gráfico de toda função de 2° grau é uma parábola. Sua concavidade depende do coeficiente de x²

Raízes ou Zeros da Função de 2° grau

Para calcular as raízes ou zeros de uma função de 2° grau usamos a fórmula:

Observação:

• ? > 0 : a função tem duas raízes reais distintas e o gráfico tocará o eixo x em dois pontos distintos (corta o eixo)
• ? = 0 : a função tem duas raí´zes reais iguais(admite raiz dupla) e o gráfico tocará no eixo x em um único ponto (tangencia o eixo)
• ? < 0 : a função não tem raízes reais e o gráfico não tocará o eixo x em nenhum ponto

Lembrete!!!

• • Soma das raízes:

• • Produto das raízes:

Vértice

O vértice V de uma parábola representa o ponto de máximo ou ponto de mínimo da função, isso depende da concavidade

Para calcularmos as coordenadas do vértice, basta utilizar as seguintes equações:

Assim o vértice será o ponto:

Valor Máximo e Valor Mínimo

Eixo de Simetria da Parábola
Chamamos de eixo de simetria da parábola à reta vertical de equação:

Conjunto imagem da Imagem da função quadrática

Distinguimos dois casos:

Crescimento e decrescimento da função quadrática

A função de 2° Grau ela apresenta um intervalo onde é crescente e um intervalo onde é decrescente. Distinguimos dois tipos:

Ponto de Intersecção Entre Gráficos

Para achar o(s) ponto(s) de encontro entre os gráficos de duas funções f (x) e g(x), se existirem, basta resolver a equação f (x)= g(x)

Estudo do Sinal da Função Quadrática – Resumo

Dica:
Função Estritamente Negativa: a < 0 e ? < 0
Função Estritamente Positiva: a > 0 e ? < 0

Inequações Simples

Para resolver uma inequação do 2° grau devemos:

• Obter a inequação equivalente tal que o segundo membro seja igual a zero
• Fazer o esboço do gráfico colocando os seus sinais
• Marcar o intervalo pedido pela inequação

Sistemas de Inequações

Resolvem-se as duas ou mais inequações que existirem no sistema, tiram-se os intervalos resultantes de cada inequação separadamente e a solução far-se-á com a intersecção de todos os intervalos que foram obtidos.

Inequação Produto e Inequação Quociente

Resolvemos de maneira idêntica às de termos em 1o grau, porém devemos ter o cuidado de observar cuidadosamente os esboços e fazer o quadro de sinal correto. Também devemos lembrar de excluir da solução final os valores de “x” que tornem nulo o denominador

Função Modular

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

O módulo (ou valor absoluto) de um número real é a distância do ponto que o representa na reta real à origem da reta (número zero). Podemos definir então:

* O módulo de um número jamais será negativo e o único número que admite módulo igual a zero é o zero

Propriedades do Módulo

Função Modular

Funções modulares são funções que possuem algum módulo em sua lei de formação

Equações modulares

São equações que possuem variáveis entre módulo

4° caso: Mudança de variável
5° caso: Existe mais de um módulo na expressão

Inequações Modulares

(Sendo a ? )

• | x | > a ? x > a ou x < -a
• | x | < a ? -a < x < a

Atenção: |f (x)| < |g(x)| ou |f (x)| > |g(x)|, elevamos os dois lados ao quadrado, tornando o mó´dulo desnecessário e resolvendo a inequação resultante

Função Exponencial

Potenciação

Na potência aⁿ , chamamos a de base e n de expoente
Caso n ? N , definimos aⁿ como sendo:

Observação:
* a⁰ = 1, se a ? 0
* a¹ = a

Caso n seja um número negativo usaremos a propriedade:

Caso n seja um número fracionário usaremos a propriedade:

Propriedades da Potenciação

• a^m . aⁿ = a^{m + n}
• a^m . aⁿ = a^{m + n}
• a^m / aⁿ = a^{m – n}, sendo a ? 0
• (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ
• (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, sendo b ? 0
• (a^m)ⁿ = a^{m . n}

Situação Especial
As potências ( -a )n e -an , em geral apresentam resultados diferentes
Exemplo:
(-2)⁴ =(-2).(-2).(-2).(-2) = 16
-2⁴ = -(2.2.2.2) = -16

Equações Exponenciais

É´ toda equação que tenha a variável no expoente

1° caso:
 2° caso: Utilizando artifícios matemáticos(mudança de variável)

Inequações Exponenciais

É toda inequação que tenha a variável no expoente. Existem dois casos básicos de inequação exponencial:

1° caso) A base a em questão é tal que a > 1. Assim teremos que:

Se a >1, conservamos o sinal da desigualdade na inequação exponencial

2° caso) A base a em questão é tal que 0 < a < 1. Assim teremos que:

Se 0 < a < 1, invertemos o sinal da desigualdade na inequação exponencial

Observação: Cuidado com os casos de inequações exponeciais, onde termos que utilizar artifícios matemáticos (mudança de variável)

Função Exponencial

Chamamos de função exponencial (ou exponencial clássica) toda função do tipo f (x) = a^x, definida para todo x real, com a > 0 e a ? 1

Gráfico da função exponencial

Função Crescente ( a > 1)

Função decrescente (0 < a < 1)