Logaritmos

Definição de logaritmos

Lê-se: Logaritmo de b na base a é igual a x

Condições de existência ou Domínio

Essas três condições são chamadas condições de existência

Conseqüências da definição

Diretamente da definição podem ser concluídas algumas conseqüências imediatas, são elas:

Propriedades operatórias

Algumas propriedades importantes dos logaritmos:

Mudança de Base

Podemos efetuar uma mudança na base do logaritmo da seguinte forma:

Dica: log_ba . log_ab = 1
log_bc . log_ab = log_ac

Cologaritmo

Definimos o cologaritmo da seguinte forma:

Equações Logarítmicas

log_ab = log_ac = ? b = c

Na resolução de equações logarítmicas, devemos observar:
1°) Condição de existência

• o logaritmando deve ser positivo
• a base deve ser positiva e diferente de 1

2°) Se os valores encontrados para a incógnita satisfazem a condição de existência

Função Logarítmica

Seja a ? IR tal que a > 0 e a ? 1. Denomina-se função logarítmica à` função f : IR^*₊ ? IR, dada por:
f (x) = log_a x

1° caso: a > 1 ? função crescente

2° caso: 0 < a < 1 ? função decrescente

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

• D( f ) = IR^*₊ e Im( f ) = IR
• Os gráficos interceptam o eixo Ox no ponto ( 1 , 0 )
• Os gráficos não interceptam o eixo Oy

Inequação Logarítmica

Existem dois casos básicos de inequação logarítmica:

• • A base a em questão é tal que a > 1

• • A base a em questão é tal que 0 < a < 1

Sistema de Logaritmos Decimais

O logaritmo decimal de um nú´mero x, representado por log₁₀ x ou simplesmente por log x é´ definido normalmente como qualquer outro logaritmo:
log x = c ? 10^c = x

Observação: O logaritmo decimal de x é a soma do inteiro c com uma parte decimal m e vamos indicá-lo por:
log x = c + m (c ? IR e 0 = m = 1)

Em que:

Exemplo: log 200 = 2 + 0,3010 = 2,3010 (c = 2 e m = 0,3010)

Característica

É a parte inteira do logaritmo decimal

Cá´lculo da Característica de log x

Vamos considerar dois casos:

Primeiro caso: x > 1
A característica é igual ao número de algarismos da parte inteira de x , diminuído de uma unidade

Exemplos:
log 9 ? c = 1 – 1 = 0
log 45 ? c = 2 – 1 = 1
log 358,76 ? c = 3 – 1 = 2

Segundo caso: 0 < x < 1
A característica será´ a quantidade de zeros que existirem antes do primeiro algarismo não nulo, tomada negativamente

Exemplos:
log 0,5 ? c = -1
log 0,075 ? c = -2
log 0,00405 ? c = -3
log 0,00053 ? c = -4

Mantissa

É´ a parte decimal do logaritmo decimal de x, log x
É obtida nas tábuas (tabelas) de logaritmos

Função Logarítmica x Função Exponencial

Seja a função logarítmica f (x) = log_a x
Sendo bijetora, essa função tem como inversa a função exponencial y = a^x