Teoria dos Conjuntos

Conjunto

Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma idéia que está associada à coleção de objetos, reunião ou grupo de pessoas etc.

Notação e representação

* Listagem dos elementos
Ex: Conjunto dos números inteiros múltiplos de três:
D = {…;-9;-6;-3;0;3;6;9;…}.

* Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.
Ex: Conjunto dos números inteiros múltiplos de três:
D = {x / x = 3 k ; k ? Z }

* Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuírem exatamente os mesmos elementos, independente da ordem.
Ex: {1,2,3}={2,3,1}={3,2,1}{1,1,1,1,3,2,2}={1,2,3}
Nota: A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante.

Conjuntos especiais

1. Conjunto vazio: não possui nenhum elemento.
   Notação: { } ou Ø
   Ex: A={x ? N/ x e ´primo menor que 2}={ }
   Cuidado: {Ø}={{}}?conjunto unitário.
2. Conjunto Universo (U) É o conjunto que possui todos os elementos necessários para a realização de um determinado estudo.

Relações entre elementos e conjuntos(Relação de pertinência)

Utilizamos dois sinais matemáticos. Se o elemento a estiver presente em A dizemos que a ? A , caso contrário, dizemos que a ? A .

Relação de inclusão

É´ uma relação que se estabelece entre elemento e conjunto.
Notação:

DICA:
A relação “está contido” ou a sua negação é utilizada do menor para o maior conjunto.
A relação “contém” ou a sua negação é utilizada do maior para o menor conjunto

Atenção: Um conjunto dentro de outro conjunto passa a ser elemento.
* {1,2}?{1,6,{1,2}}

Subconjuntos

Se A? B, dizemos que A é SUBCONJUNTO de B.

Atenção:

• O número de subconjuntos N, de um conjunto A , é dado pela fórmula N = 2^n(A)
• O conjunto vazio é subconjunto (está contido) de qualquer outro conjunto dado
  Ø ? A , para qualquer conjunto A
• Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo
  A ? A,para qualquer conjunto A

Conjunto das partes de A ou conjunto dos subconjuntos

O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado conjunto das partes de A, P(A), ou conjunto dos subconjuntos de A.
Exemplo: Sendo A={3,5}, determinar P(A)
P(A) ={Ø,{3},{5},{3,5}}

Observação: Ø ? P(A) e também Ø ? P(A)

Atenção: Se o conjunto A tem n elementos, então P(A) tem 2ⁿ elementos

Operações entre Conjuntos

1. União (ou Reunião) de Conjuntos A ? B = {x / x ? A ou x ? B}
   Observação:
   * A ? f = A qualquer que seja o conjunto A
   * A ? A = A qualquer que seja A
   * Se B ? A, então A ? B = A
2. Intersecção de Conjuntos
   A n B = {x / x ? A e x ? B}
   Observação:
   * A n f = f, qualquer que seja o conjunto A
   * A n A = A, qualquer que seja o conjunto A
   * Se B ? A,então A n B = B.
   * Quando A n B = f , os conjuntos são chamados disjuntos (sem elementos em comum)
3. Conjunto Diferença
   A – B = {x / x ? A e x ? B}
   Observação:
   * Se A &ne B, então A – B ? B – A, ?A, ?B* Diferença Simétrica
   A ? B = (A – B) ? (B – A)
4. Complementar de um Conjunto em relação ao outro
   Atenção: Complementar de um Conjunto em relação ao Conjunto Universo
   

Números de Elementos da União de Conjuntos

1. Com dois conjuntos sendo:
   A n B = Ø ? n(A ? B) = n(A) + n(B)
   A n B &ne Ø ? n(A ? B) = n(A) + n(B) – n(A n B)DICA: n(A – B) = n(A) – n(A n B)
2. Com três conjuntos sendo:
   A n B n C ? Ø ? n(A?B?C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A n B) – n(A n C) – n(B n C) +n(A n B n C)
   Observação: Uma das formas práticas de resolver problemas com conjuntos é a representação por meio de diagramas

Conjuntos Numéricos

1. 1. Conjunto dos Números Naturais

* Conjunto dos Números Naturais não-nulos

Observação:

1. 1. Conjunto dos Números Inteiros

      • (Conjunto dos inteiros não-nulos)
      • (Conjunto dos inteiros não-negativos)
      • (Conjunto dos inteiros positivos)
      • (Conjunto dos inteiros não positivos)
      • (Conjunto dos inteiros negativos)

Alguns dos Subconjuntos de :

1. 1. Conjunto dos Número Racionais

      • Todo número inteiro é um número racional
      • Todo número decimal exato é um número racional
      • Todo dízima periódica é um número racional
      • Se a dízima periódica é simples(o período está logo após a vírgula): Divide-se o período por tantos noves quantos forem o número de algarismos do período.
      • Se a dízima periódica é composta(o período não está logo após a vírgula):
        

Atenção:

Como calcular a fração geratriz de uma dízima periódica

1. 1. Conjunto dos Números Irracionais

      • Raízes inexatas. Ex:
      • Decimais infinitos e não periódicos. Ex: p = 3,1415926… (PI)

NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. São eles:

1. 1. Conjunto dos Números Reais

É´ a união do conjunto dos números RACIONAIS com o conjunto dos números IRRACIONAIS.
Atenção: Apenas dois tipos de números não são reais, são eles as raízes de í´ndice par de números negativos e o resultado de uma divisão por zero.

Diagrama:

Intervalos Reais

Os subconjuntos dos números reais determinados por desigualdades são chamados intervalos.
Para isso vamos considerar dois números reais a e b, com a < b.

Observações:
* Entre dois números reais existem infinitos números reais.

Cuidado:


* Os números a e b são os limites do intervalo, sendo a diferença b – a , chamada amplitude do intervalo
* A bolinha vazia indica que o extremo não pertence ao intervalo e a bolinha cheia indica que o extremo pertence ao intervalo.
* Números reais diferentes de a:

Operações com Intervalos

• • Intersecção

A n B é ointervalo presente tanto em A quanto em B

• • União

A ? B é obtido sobrepondo um intervalo ao outro

• • Diferença

A – B é formado pelo intervalo que está em A e não está em B

Atenção: